Hola que tal les habla su amigo el creador de esta fantastico blog de enseñanza de los casos de factorización bueno he creado esta entrada con motivo de que la pagina siga estando en funcionamiento y seguirles ayudando en lo que puedo con los ejercicios de los casos de factorización.
Solo pido la colaboración de ustedes de un dolar americano donde esta el cuadrito naranja donate ahi le dan clic de esta manera van a seguir manteniendo la pagina y en el futuro vamos ir a mejorarla bueno no les quito mas el tiempo espero sus donaciones cuidencen mucho.
donde dice
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Deben tener una tarjeta de credito para acreditame bueno espero sus donaciones en verdad se les agradecera.
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lunes 3 de agosto de 2009
jueves 28 de mayo de 2009
Videos de los casos de factorizacion
Bueno mis estudiantes de este blog y a todas las personas interesadas en aprender sobre los 10 casos de factorización aqui le va los videos.
Día a día vamos a ir subiendo cada caso explicado de la mejor manera en caso de que no hayan entendido mi explicación en el blog espero que estos videos sean de su mejor ayuda.
Videos del primer caso de factorizacion
Factor común
Día a día vamos a ir subiendo cada caso explicado de la mejor manera en caso de que no hayan entendido mi explicación en el blog espero que estos videos sean de su mejor ayuda.
Videos del primer caso de factorizacion
Factor común
Descargar los videos restantes de primer caso de factorizacion son dos ejemplos mas aparte de los anteriores.
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Videos del segundo caso de factorizacion
Factor comun por agrupacion de términos
Descargar los videos restantes del segundo caso de factorización son dos ejemplos mas aparte de los anteriores.
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Videos del tercer caso de factorizacion
Trinomio cuadrado perfecto
Descargar los videos restantes del tercer caso de factorización aqui incluye el caso especial que les enseñe al principio en los 5 primeros casos de factorización bueno espero que sea de gran ayuda.
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Videos del cuarto caso de factorizacion
Diferencia de cuadrados perfectos
En el segundo video esta el caso especial del caso IV los restantes videos estan en el archivo que les voy a facilitar.
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Videos del quinto caso de factorizacion
Tinomio cuadrado por adicción y sustracción
En total son 6 videos del trinomio cuadrado por adicción y sustracción los tres primeros son ejemplos comunes de este caso y los otros tres ejemplos restantes son los videos cuando son casos especiales espero que les sea útil estos videos.
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Video del sexto caso de factorización
Trinomio de la forma x^2+bx+c
Descargar los videos restantes del sexto caso de factorizacion es decir el ejemplo 2 y 3 este caso es fundamental ya que la mayoria de los ejercicios son casi siempre del trinomio de la forma x^2+bx+c espero que les sirva los videos.
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Video del septimo caso de factorizacion
Trinomio de la forma ax^2+bx+c
Bueno amigos aqui les traigo el caso VII se trata de un caso indispensable para los estudiantes es el caso que mas se utiliza junto con el caso VI aca les dejo como ejemplos los videos 1 y 4.
Los dos videos mirenlo con atención aqui les explica de una forma distinta al que les explice en el caso anterior es el método en forma de aspa es mas facil y menos complicado les conviene que lo hagan por este metodo bueno sin quitarle mas tiempo los dejo espero que les sea de gran utilidad los videos restantes.
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Video del octavo caso de factorizacion
Cubo de un Binomio
Bueno amigos de mi blog despues de meses de espera aqui les traigo los video del octavo caso de factorizacion es el cubo de binomios. Aqui esta el video como ejemplo, el resto de los videos se los facilito por medio del link de descarga que esta abajo estos ejemplos ilcuyen la prueba para verificar si efectivamente se puede resolver el problema como un cubo de binomio espero que les sea de gran ayuda.
Nota: porfavor hagan sus donaciones en el cuadrito amarillo que esta al comienzo de la pagina se les agradecera un mundo y aunque con eso servira para que este blog siga funcionando espero su donaciones voluntarias.
jueves 23 de octubre de 2008
Descarga de programas matematicos y otros programas
Derive
Es una aplicación destinada a cualquier estudiante, profesor o profesional que tenga que realizar algún tipo de tarea relacionada con las matemáticas.Es capaz de abordar complejos problemas de álgebra y cálculo y trabajar de forma rápida y eficaz con matrices y vectores. Además posee un entorno visual muy cómodo y sencillo que soporta todo tipo de gráficas y representaciones.Derive puede procesar variables algebraicas, expresiones, ecuaciones, funciones, vectores, matrices y expresiones booleanas.Uno de los programas más utilizados en entornos relacionados con las matemáticas, universidades y trabajos de ingeniería.
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Graph
¿Estudias matemáticas? ¿Tienes problemas a la hora de representar funciones en una gráfica? Entonces seguro que un programa como Graph te viene de perlas.Graph es una sencilla herramienta matemática que nos ayuda a llevar funciones al plano visual, pudiendo realizar distintas operaciones de edición sobre esa misma gráfica resultante.La interfaz del programa muestra en la ventana principal un plano de coordenadas (configurable), y en el margen izquierdo del monitor las distintas operaciones que se van añadiendo sobre éste. Además, Graph nos permite realizar algunas operaciones matemáticas sobre las funciones, con lo que no sólo podremos llevarlas a una gráfica sino puede que también darles la solución que se nos resiste de otra manera.Por último, cabe destacar la posibilidad de copiar la gráfica obtenida y pegarla en otro tipo de programas como editores de imagen, de forma que podamos añadir comentarios para algún tipo de presentación o explicación de la materia.
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Math Prof
MathProf es un entorno que te ayudará con las matematicas, un programa capaz de analizar y resolver un importante número de problemas y cálculos matemáticos.
Sobre todo, MathProf es ideal como herramienta de apoyo. Tanto si eres estudiante y quieres comprender mejor las mates, como si eres profesor y quieres dar un toque gráfico a tus clases, MathProf es tu programa.
Mediante formularios, MathProf te ayudará a resolver problemas de análisis, geometría, o algebra; a calcular funciones gráficas tanto en 2D como en 3D, a generar imágenes estocásticas y a entender mejor temas de algebra lineal y vectorial.
En total, MathProf incluye nueve secciones, más 180 subrutinas predefinidas, ejemplos ilustrativos y otros recursos adicionales como juegos educativos, conversores de unidades, librerías de constantes y demás
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Win Rar
Descompresor muy potente para comprimir archivos livianos y pesados muy recomendado especialmente para descargar los archivos con extensión .rar que existen en esta pagina.
Ejercicios de los 5 ultimos casos de factorizacion
Caso VI
Trinomio de la forma x^2 + bx + c.
Trinomios de la forma x^2 + bx + c son trinomios como:
X^2 + 5x + 6
m^2 + 5m – 14
a^2 – 2a – 15
Para que estos términos a la que hemos puesto como ejemplos sean trinomios de la forma x^2 + bx + c deben cumplir con las siguientes condiciones:
1) El coeficiente del primer término es 1.
2) El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3) El segundo término tiene la misma letra que el primero termino 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
4) El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1er y 2do términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
Regla para factorar un trinomio de la forma x^2 + bx + c
1) Lo primero que debemos hacer es sacar la raíz cuadrada del primer término del trinomio es decir raíz cuadrada de x^2 es x.
2) Luego de eso debemos de separar en dos grupos de binomios, cada grupo va constar de la raíz cuadrada que le sacamos al comienzo x^2 es decir x. Ejemplo
x^2 + 5x + 6 = (x ) (x )
3) Una vez realizado el paso 2 debemos identificar los signos por el cual va ir precedido el segundo término en ambos grupos para una mejor explicación le muestro el siguiente ejemplo:
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x )
En este caso los signos de ambos grupos de binomio es + esto lo identificamos observando el trinomio original, observamos el segundo término que va precedido del signo + al ver que tiene el signo mas colocamos el signo en el primer grupo de binomio es decir:
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x )
nos damos cuenta como colocamos el signo y para saber el signo del segundo grupo lo que hacemos es una simple ley de signos, es decir el signo que va precedido del segundo término por el signo que va precedido del tercer término del trinomio original ejemplo:
x^2 + 5x + 6
En este caso nos fijamos en los signos resaltados de rojo, al hacer la ley de los signos + * + = + nos va a dar el resultado de + que va ser el signo del segundo grupo ejemplo.
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x + )
4) Una vez descubierto los signos de ambos grupo pasamos a descubrir los números que van a ir tanto de un grupo como del otro grupo.
Esto lo hacemos sacando máximo comun divisor del último término del trinomio original. Ejemplo.
x^2 + 5x + 6
Es decir al 6 le sacamos el máximo comun divisor
6 = 2 y 3 vendría a ser el máximo comun de 6, porque 6 dividido para 2 nos da 3 y para ser al tres 1 lo dividimos para 3.
x^2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)
Estos son los números que van a ir tanto en un grupo como en el otro también lo podemos averiguar porque 3 al multiplicarlo por 2 nos va a dar 6 del trinomio original, y 3 sumando 2 nos va a dar 5 del segundo termino del trinomio original estas son las dos formas para comprobar si los números que colocamos son los correctos.
Ejemplos descriptivo de los casos de factorizacion VI.
Factorizar a^2 – 13a + 40
Observamos que sacamos la raíz cuadrada de a^2 que va ser a. y eso lo colocamos en ambos grupos.
a^2 – 13a + 40 = (a ) (a )
En el primer binomio después de a se pone signo – porque el segundo termino del trinomio
– 13a tiene signo - . En el segundo binomio, después de a, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de – 13 a por el signo de + 40 y se tiene que – por + da – es decir:
a^2 – 13a + 40 = (a – 8 ) (a – 5 )
Sacamos el máximo comun de 40 que nos da 2, 2, 2 y 5 debemos buscar dos números cuya suma sea – 13 y cuyo producto sea +40.
En este caso va ser – 8 y – 5.
Factorizar: x^2 + 6x – 216
En el primer binomio se pone + porque +6x tiene signo + .
En el segundo binomio se pone – porque multiplicando el signo + 6x por el
signo de – 216 se tiene que + por – da – .
Necesitamos dos números cuya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 216.
Estos números no se ven fácilmente. Para hallarlos, descomponemos en sus factores primos el tercer término.
216= 2, 2, 2, 3, 3, 3
Ahora, formamos con estos factores primos dos productos.
Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos números que buscamos. Asi:
2 * 2 * 2 = 8 3 * 3 * 3 = 27
2 * 2 * 2 * 3 = 24 3 * 3 = 9
2 * 2 * 3 = 12 2 * 3 * 3 = 18
27 – 8 = 19, no nos sirven
24 – 9 = 15, no nos sirven
18 – 12 = 6, sirven
18 y 12 son los números que buscamos porque su diferencia es 6 y su producto necesariamente es 216 ya que para obtener estos números hemos empleado todos los factores que obtuvimos en la descomposición de 216.
Por tanto:
x^2 + 6x – 216 = (x + 18) (x – 12).
Ejercicios de los casos de factorizacion VI.
Trinomio de la forma x^2 + bx + c
Factorizar o descomponer en dos factores.
y^2 – 9y + 20
Descomponiendo en factores tenemos:
20 = 2, 2, 5
(y – 5) (y – 4)
Factorizar: x^2 + x – 132
Descomponer en factores el 132.
132 = 2, 2, 3, 11
2 * 2 * 3 = 12
11
El 12 y 11 serian los números indicado debido a que la diferencia 12 – 11 = 1, da como resultado +1 y el producto nos da – 132.
(x + 12) (x – 11)
Factorizar: m^2 – 2m – 168
Descomponer en factores el 168.
168 = 2, 2, 3, 7
2 * 2 * 3 = 12
2 * 7 = 14
El 12 y 14 serian los números indicados debido a que la diferencia
– 14 + 12 = - 2, da como resultado – 2 y el producto nos da – 168
(m – 14) (m + 12)
Caso Especial del trinomio de la forma x^2 + bx + c
Ejemplos descriptivos:
Factorizar: x^4 + 5x^2 – 50
El primer termino de cada factor binomio será la raíz cuadrada de x^4 o sea x^2.
x^4 – 5x^2 – 5a = (x^2 - ) (x^2 + )
Descomponemos en factores el 50.
50 = 2, 5, 5
2 * 5 = 10
5
El 10 y 5 son los números indicados, porque la diferencia – 10 + 5 = – 5
nos da – 5 que es del segundo término y el producto – 10 * 5= - 50, nos da
– 50 en resumen en el caso que explicamos anteriormente son los mismos pasos que se aplica en el caso especial.
(x^2 – 10) (x^2 + 5)
Factorizar: (5x)^2 – 9(5x) + 8.
El primer término de cada binomio será la raíz cuadrada (5x)^2 o sea 5x.
(5x)^2 – 9(5x) + 8 = (5x - ) (5x - )
Dos números cuya suma sea 9 y cuyo producto es 8 son 8 y 1, Tendremos:
(5x)^2 – 9(5x) + 8 = (5x – 8) (5x – 1)
Factorizar: (a + b)^2 – 12(a + b) + 20.
El primer término de cada binomio será la raíz cuadrada de (a + b)^2 que es
(a + b).
(a + b)^2 – 12(a + b) + 20.
[(a + b) – ] [(a + b) - ]
Buscamos dos números cuya suma suma sea 12 y cuyo producto sea 20. Esos números son 10 y 2. Tendremos:
(a + b)^2 – 12(a + b) + 20 = [(a + b) – 10] [(a + b) – 2]
= (a + b – 10) (a + b – 2)
Factorizar: 28 + 3x – x^2.
Ordenando en orden descendente respecto de x tenemos:
– (x^2 – 3x – 28)
Factorando: x^2 – 3x – 28 = (x – 7) (x + 4), pero como el trinomio esta precedido de – su descomposición también debe ir precedido de – y tendremos:
–(x – 7) (x + 4)
Para que desaparezca el signo – del producto –(x – 7) (x + 4) o sea, para convertirlo en + basta cambiarle el signo a un factor, por ejemplo (x – 7) y quedara.
28 + 3x – x^2 = (7 – x) (x + 4).
Ejercicio de los caso especiales VI.
Factorizar = x^4 + 5x^2 + 4
x^4 + 5x^2 + 4= (x^2 + 4) (x^2 + 1).
Factorizar= (x – y)^2 + 2(x – y) – 24.
(x – y)^2 + 2(x – y) – 24 = [(x – y) + 6] [(x – y) – 4]
= (x – y + 6) (x – y – 4)
24 = 2, 2, 2, 3
2 * 3 = 6 6 – 4 = 2
2 * 2= 4
El 6 y 4 van a ser los números que van a ir en los grupos de binomios.
Factorizar = 48 + 2x^2 – x^4
– x^4 + 2x^2 + 48
– (x^4 – 2x^2 – 48)
Factorizando x^4 – 2x^2 – 48 nos da (x^2 – 8) (x^2 + 6)
48 = 2, 2, 2, 2, 3.
2 * 2 * 2 = 8
2 * 3 = 6
El 8 y 6 van a ser los números que van a ir en los grupos de binomios.
Para obtener el caso de factorizacion VII hacer clic aqui
Caso VIII
Cubo perfecto de binomios.
Regla para factorizar un cubo perfecto de binomios.
Factorizar: a^3 + 3a^2 + 3a + 1
1) Primero identificar que el ejercicio tenga cuatro términos en este caso observamos que nuestro ejercicio consta de cuatro términos
2) Sacar la raíz cúbica al primer término y al último término Ejemplo.
La raíz cúbica de a^3 es a.
La raíz cúbica de 1 es 1.
3) Vemos si cumples las condiciones realizando la siguiente prueba. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1
1) 3 (a)^2 (1) = 3a^2
2) 3 (a) (1)^2 = 3a
1) Como observamos que una vez que le sacamos la raíz cuadrada al primer y ultimo término, con ellos realizamos la prueba, multiplicando primeramente al 3 por el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del ultimo término, en expresión 3 (a)^2 (1) = 3a^2 dándonos el resultado del segundo término de nuestro ejercicio inicial. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1
2) Luego multiplicamos al 3 por la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último término, en expresión 3 (a) (1)^2 = 3ª dándonos el resultado del tercer término de nuestro ejercicio inicial. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1
4) Y por ultimo ya realizado la prueba y comprobar que se trata de un cubo perfecto de binomios resolvemos el ejercicio:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a + 1)^3
Quedándonos el binomio a + 1 elevándolo al cubo.
Nota: Para saber que signo va dentro del binomio tenemos que tomar en cuenta lo siguiente:
Es signo + cuando los signos de los 4 términos es +
Es signo – cuando los signos de los términos es alternado es decir – y + .
No es cubo perfecto cuando:
1) Cuando al realizar la prueba no nos da el resultado ni del segundo ni tercer término
2) Cuando los signos son alternados de esta forma. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 – 3a – 1
a^3 – 3a^2 + 3a + 1
a^3 + 3a^2 – 3a + 1
a^3 – 3a^2 – 3a + 1
solo cuando es alternado de esta forma a^3 – 3a^2 + 3a – 1 es un cubo perfecto.
Ejercicios descriptivos de los casos de factorizacion VIII
1) 27 – 27x + 9x^2 – x^3 = (3 – x)^3
3 (3)^2 (x) = 27x
3 (3) (x)^2 = 9x^2
2) 125x^3 + 1 + 75x^2 + 15x
Ordenando: 125x^3 + 75x^2 + 15x + 1 = (5x + 1)^3
3 (5x)^2 (1) = 75x^2
3 (5x) (1)^2 = 15x
3) x^3 – 3x^2 + 3x + 1
No es cubo perfecto porque los signos no son alternados de esta manera
– * + * – * +
4) a^6 + 3a^4 b^3 + 3a^2 b^6 + b^9 = (a^2 + b^3)^3
3 (a^2)^2 (b^3) = 3a^4 b^3
3 (a^2) (b^3)^2 = 3a^2 b^6
Caso IX
Suma o diferencia de cubos perfectos.
Regla para resolver una suma o diferencia de cubos perfectos.
Regla 1
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1) La suma de sus raíces cúbicas.
2) El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz.
Regla 2
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1) La diferencia de sus raíces cúbicas.
2) El cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplos descriptivos de los casos de factorizacion IX.
1) Factorizacion: x^3 + 1
La raíz cúbica de x^3 es x; la raíz cúbica de 1 es 1.
x^3 + 1 = (x + 1) [x^2 – x(1) + 1^2] = (x + 1) (x^2 – x + 1)
Respuesta: (x + 1) (x^2 – x + 1)
Aplicando la regla 1 vemos que trata de una suma de dos cubos perfectos.
Entonces al sacarle la raíz a x^3 = x y 1 = 1, el primer factor va ser una suma de (x + 1), luego aplicamos la regla del segundo factor cuando suma; el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz quedándonos:
[x^2 – x(1) + 1^2] = x^2 – x + 1
Al juntar los 2 factores nuestra respuesta será:
(x + 1) (x^2 – x + 1)
2) Factorizar: 8x^3 – 125
La raíz cúbica de 8x^3 es 2x; la raíz cúbica de 125 es 5
Aplicando la regla 2 vemos que trata de una diferencia de dos cubos perfectos.
8x^3 – 125 = (2x – 5) [(2x)^2 + 2x(5) + (5)^2]
(2x – 5) (4x^2 + 10x + 25)
Al sacarle la raíz a 8x^3 = 2x y a 125 = 5, el primer factor va ser una resta
(2x – 5), luego aplicamos la regla del segundo factor cuando es resta; el cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz. Quedándonos:
[(2x)^2 + 5(2x) + 5^2] = 4x^2 + 10x + 25
Al juntar los dos factores nuestra respuesta será:
(2x – 5) (4x^2 + 10x + 25)
Ejercicios de los casos de factorizacion IX.
Suma o diferencia de cubos perfectos.
1) a^3 + 27 = (a + 3) [a^2 – 3(a) + (3)^2]
(a + 3) (a^2 – 3a + 9)
2) a^3 b^3 – x^6 = (ab – x^2) [(ab)^2 + abx^2 + (x^2)^2]
(ab – x^2) (a^2 b^2 + abx^2 + x^4)
3) 27m^3 + 64n^9 = (3m + 4n^3) [(3m)^2 – 3m(4n^3) + (4n^3)^2]
(3m + 4n^3) (9m^2 – 12mn^3 + 16n^6)
4) 8x^9 – 125y^3 z^6
(2x^3 – 5yz^2) [(2x^3)^2 – (2x^3)(5yz^2) + (5yz^2)^2]
(2x^3 – 5yz^2) (4x^6 + 2x^3 y z^2 + 25y^2 z^4)
Trinomio de la forma x^2 + bx + c.
Trinomios de la forma x^2 + bx + c son trinomios como:
X^2 + 5x + 6
m^2 + 5m – 14
a^2 – 2a – 15
Para que estos términos a la que hemos puesto como ejemplos sean trinomios de la forma x^2 + bx + c deben cumplir con las siguientes condiciones:
1) El coeficiente del primer término es 1.
2) El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3) El segundo término tiene la misma letra que el primero termino 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
4) El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1er y 2do términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
Regla para factorar un trinomio de la forma x^2 + bx + c
1) Lo primero que debemos hacer es sacar la raíz cuadrada del primer término del trinomio es decir raíz cuadrada de x^2 es x.
2) Luego de eso debemos de separar en dos grupos de binomios, cada grupo va constar de la raíz cuadrada que le sacamos al comienzo x^2 es decir x. Ejemplo
x^2 + 5x + 6 = (x ) (x )
3) Una vez realizado el paso 2 debemos identificar los signos por el cual va ir precedido el segundo término en ambos grupos para una mejor explicación le muestro el siguiente ejemplo:
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x )
En este caso los signos de ambos grupos de binomio es + esto lo identificamos observando el trinomio original, observamos el segundo término que va precedido del signo + al ver que tiene el signo mas colocamos el signo en el primer grupo de binomio es decir:
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x )
nos damos cuenta como colocamos el signo y para saber el signo del segundo grupo lo que hacemos es una simple ley de signos, es decir el signo que va precedido del segundo término por el signo que va precedido del tercer término del trinomio original ejemplo:
x^2 + 5x + 6
En este caso nos fijamos en los signos resaltados de rojo, al hacer la ley de los signos + * + = + nos va a dar el resultado de + que va ser el signo del segundo grupo ejemplo.
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x + )
4) Una vez descubierto los signos de ambos grupo pasamos a descubrir los números que van a ir tanto de un grupo como del otro grupo.
Esto lo hacemos sacando máximo comun divisor del último término del trinomio original. Ejemplo.
x^2 + 5x + 6
Es decir al 6 le sacamos el máximo comun divisor
6 = 2 y 3 vendría a ser el máximo comun de 6, porque 6 dividido para 2 nos da 3 y para ser al tres 1 lo dividimos para 3.
x^2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)
Estos son los números que van a ir tanto en un grupo como en el otro también lo podemos averiguar porque 3 al multiplicarlo por 2 nos va a dar 6 del trinomio original, y 3 sumando 2 nos va a dar 5 del segundo termino del trinomio original estas son las dos formas para comprobar si los números que colocamos son los correctos.
Ejemplos descriptivo de los casos de factorizacion VI.
Factorizar a^2 – 13a + 40
Observamos que sacamos la raíz cuadrada de a^2 que va ser a. y eso lo colocamos en ambos grupos.
a^2 – 13a + 40 = (a ) (a )
En el primer binomio después de a se pone signo – porque el segundo termino del trinomio
– 13a tiene signo - . En el segundo binomio, después de a, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de – 13 a por el signo de + 40 y se tiene que – por + da – es decir:
a^2 – 13a + 40 = (a – 8 ) (a – 5 )
Sacamos el máximo comun de 40 que nos da 2, 2, 2 y 5 debemos buscar dos números cuya suma sea – 13 y cuyo producto sea +40.
En este caso va ser – 8 y – 5.
Factorizar: x^2 + 6x – 216
En el primer binomio se pone + porque +6x tiene signo + .
En el segundo binomio se pone – porque multiplicando el signo + 6x por el
signo de – 216 se tiene que + por – da – .
Necesitamos dos números cuya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 216.
Estos números no se ven fácilmente. Para hallarlos, descomponemos en sus factores primos el tercer término.
216= 2, 2, 2, 3, 3, 3
Ahora, formamos con estos factores primos dos productos.
Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos números que buscamos. Asi:
2 * 2 * 2 = 8 3 * 3 * 3 = 27
2 * 2 * 2 * 3 = 24 3 * 3 = 9
2 * 2 * 3 = 12 2 * 3 * 3 = 18
27 – 8 = 19, no nos sirven
24 – 9 = 15, no nos sirven
18 – 12 = 6, sirven
18 y 12 son los números que buscamos porque su diferencia es 6 y su producto necesariamente es 216 ya que para obtener estos números hemos empleado todos los factores que obtuvimos en la descomposición de 216.
Por tanto:
x^2 + 6x – 216 = (x + 18) (x – 12).
Ejercicios de los casos de factorizacion VI.
Trinomio de la forma x^2 + bx + c
Factorizar o descomponer en dos factores.
y^2 – 9y + 20
Descomponiendo en factores tenemos:
20 = 2, 2, 5
(y – 5) (y – 4)
Factorizar: x^2 + x – 132
Descomponer en factores el 132.
132 = 2, 2, 3, 11
2 * 2 * 3 = 12
11
El 12 y 11 serian los números indicado debido a que la diferencia 12 – 11 = 1, da como resultado +1 y el producto nos da – 132.
(x + 12) (x – 11)
Factorizar: m^2 – 2m – 168
Descomponer en factores el 168.
168 = 2, 2, 3, 7
2 * 2 * 3 = 12
2 * 7 = 14
El 12 y 14 serian los números indicados debido a que la diferencia
– 14 + 12 = - 2, da como resultado – 2 y el producto nos da – 168
(m – 14) (m + 12)
Caso Especial del trinomio de la forma x^2 + bx + c
Ejemplos descriptivos:
Factorizar: x^4 + 5x^2 – 50
El primer termino de cada factor binomio será la raíz cuadrada de x^4 o sea x^2.
x^4 – 5x^2 – 5a = (x^2 - ) (x^2 + )
Descomponemos en factores el 50.
50 = 2, 5, 5
2 * 5 = 10
5
El 10 y 5 son los números indicados, porque la diferencia – 10 + 5 = – 5
nos da – 5 que es del segundo término y el producto – 10 * 5= - 50, nos da
– 50 en resumen en el caso que explicamos anteriormente son los mismos pasos que se aplica en el caso especial.
(x^2 – 10) (x^2 + 5)
Factorizar: (5x)^2 – 9(5x) + 8.
El primer término de cada binomio será la raíz cuadrada (5x)^2 o sea 5x.
(5x)^2 – 9(5x) + 8 = (5x - ) (5x - )
Dos números cuya suma sea 9 y cuyo producto es 8 son 8 y 1, Tendremos:
(5x)^2 – 9(5x) + 8 = (5x – 8) (5x – 1)
Factorizar: (a + b)^2 – 12(a + b) + 20.
El primer término de cada binomio será la raíz cuadrada de (a + b)^2 que es
(a + b).
(a + b)^2 – 12(a + b) + 20.
[(a + b) – ] [(a + b) - ]
Buscamos dos números cuya suma suma sea 12 y cuyo producto sea 20. Esos números son 10 y 2. Tendremos:
(a + b)^2 – 12(a + b) + 20 = [(a + b) – 10] [(a + b) – 2]
= (a + b – 10) (a + b – 2)
Factorizar: 28 + 3x – x^2.
Ordenando en orden descendente respecto de x tenemos:
– (x^2 – 3x – 28)
Factorando: x^2 – 3x – 28 = (x – 7) (x + 4), pero como el trinomio esta precedido de – su descomposición también debe ir precedido de – y tendremos:
–(x – 7) (x + 4)
Para que desaparezca el signo – del producto –(x – 7) (x + 4) o sea, para convertirlo en + basta cambiarle el signo a un factor, por ejemplo (x – 7) y quedara.
28 + 3x – x^2 = (7 – x) (x + 4).
Ejercicio de los caso especiales VI.
Factorizar = x^4 + 5x^2 + 4
x^4 + 5x^2 + 4= (x^2 + 4) (x^2 + 1).
Factorizar= (x – y)^2 + 2(x – y) – 24.
(x – y)^2 + 2(x – y) – 24 = [(x – y) + 6] [(x – y) – 4]
= (x – y + 6) (x – y – 4)
24 = 2, 2, 2, 3
2 * 3 = 6 6 – 4 = 2
2 * 2= 4
El 6 y 4 van a ser los números que van a ir en los grupos de binomios.
Factorizar = 48 + 2x^2 – x^4
– x^4 + 2x^2 + 48
– (x^4 – 2x^2 – 48)
Factorizando x^4 – 2x^2 – 48 nos da (x^2 – 8) (x^2 + 6)
48 = 2, 2, 2, 2, 3.
2 * 2 * 2 = 8
2 * 3 = 6
El 8 y 6 van a ser los números que van a ir en los grupos de binomios.
Para obtener el caso de factorizacion VII hacer clic aqui
Caso VIII
Cubo perfecto de binomios.
Regla para factorizar un cubo perfecto de binomios.
Factorizar: a^3 + 3a^2 + 3a + 1
1) Primero identificar que el ejercicio tenga cuatro términos en este caso observamos que nuestro ejercicio consta de cuatro términos
2) Sacar la raíz cúbica al primer término y al último término Ejemplo.
La raíz cúbica de a^3 es a.
La raíz cúbica de 1 es 1.
3) Vemos si cumples las condiciones realizando la siguiente prueba. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1
1) 3 (a)^2 (1) = 3a^2
2) 3 (a) (1)^2 = 3a
1) Como observamos que una vez que le sacamos la raíz cuadrada al primer y ultimo término, con ellos realizamos la prueba, multiplicando primeramente al 3 por el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del ultimo término, en expresión 3 (a)^2 (1) = 3a^2 dándonos el resultado del segundo término de nuestro ejercicio inicial. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1
2) Luego multiplicamos al 3 por la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último término, en expresión 3 (a) (1)^2 = 3ª dándonos el resultado del tercer término de nuestro ejercicio inicial. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1
4) Y por ultimo ya realizado la prueba y comprobar que se trata de un cubo perfecto de binomios resolvemos el ejercicio:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a + 1)^3
Quedándonos el binomio a + 1 elevándolo al cubo.
Nota: Para saber que signo va dentro del binomio tenemos que tomar en cuenta lo siguiente:
Es signo + cuando los signos de los 4 términos es +
Es signo – cuando los signos de los términos es alternado es decir – y + .
No es cubo perfecto cuando:
1) Cuando al realizar la prueba no nos da el resultado ni del segundo ni tercer término
2) Cuando los signos son alternados de esta forma. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 – 3a – 1
a^3 – 3a^2 + 3a + 1
a^3 + 3a^2 – 3a + 1
a^3 – 3a^2 – 3a + 1
solo cuando es alternado de esta forma a^3 – 3a^2 + 3a – 1 es un cubo perfecto.
Ejercicios descriptivos de los casos de factorizacion VIII
1) 27 – 27x + 9x^2 – x^3 = (3 – x)^3
3 (3)^2 (x) = 27x
3 (3) (x)^2 = 9x^2
2) 125x^3 + 1 + 75x^2 + 15x
Ordenando: 125x^3 + 75x^2 + 15x + 1 = (5x + 1)^3
3 (5x)^2 (1) = 75x^2
3 (5x) (1)^2 = 15x
3) x^3 – 3x^2 + 3x + 1
No es cubo perfecto porque los signos no son alternados de esta manera
– * + * – * +
4) a^6 + 3a^4 b^3 + 3a^2 b^6 + b^9 = (a^2 + b^3)^3
3 (a^2)^2 (b^3) = 3a^4 b^3
3 (a^2) (b^3)^2 = 3a^2 b^6
Caso IX
Suma o diferencia de cubos perfectos.
Regla para resolver una suma o diferencia de cubos perfectos.
Regla 1
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1) La suma de sus raíces cúbicas.
2) El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz.
Regla 2
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1) La diferencia de sus raíces cúbicas.
2) El cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplos descriptivos de los casos de factorizacion IX.
1) Factorizacion: x^3 + 1
La raíz cúbica de x^3 es x; la raíz cúbica de 1 es 1.
x^3 + 1 = (x + 1) [x^2 – x(1) + 1^2] = (x + 1) (x^2 – x + 1)
Respuesta: (x + 1) (x^2 – x + 1)
Aplicando la regla 1 vemos que trata de una suma de dos cubos perfectos.
Entonces al sacarle la raíz a x^3 = x y 1 = 1, el primer factor va ser una suma de (x + 1), luego aplicamos la regla del segundo factor cuando suma; el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz quedándonos:
[x^2 – x(1) + 1^2] = x^2 – x + 1
Al juntar los 2 factores nuestra respuesta será:
(x + 1) (x^2 – x + 1)
2) Factorizar: 8x^3 – 125
La raíz cúbica de 8x^3 es 2x; la raíz cúbica de 125 es 5
Aplicando la regla 2 vemos que trata de una diferencia de dos cubos perfectos.
8x^3 – 125 = (2x – 5) [(2x)^2 + 2x(5) + (5)^2]
(2x – 5) (4x^2 + 10x + 25)
Al sacarle la raíz a 8x^3 = 2x y a 125 = 5, el primer factor va ser una resta
(2x – 5), luego aplicamos la regla del segundo factor cuando es resta; el cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz. Quedándonos:
[(2x)^2 + 5(2x) + 5^2] = 4x^2 + 10x + 25
Al juntar los dos factores nuestra respuesta será:
(2x – 5) (4x^2 + 10x + 25)
Ejercicios de los casos de factorizacion IX.
Suma o diferencia de cubos perfectos.
1) a^3 + 27 = (a + 3) [a^2 – 3(a) + (3)^2]
(a + 3) (a^2 – 3a + 9)
2) a^3 b^3 – x^6 = (ab – x^2) [(ab)^2 + abx^2 + (x^2)^2]
(ab – x^2) (a^2 b^2 + abx^2 + x^4)
3) 27m^3 + 64n^9 = (3m + 4n^3) [(3m)^2 – 3m(4n^3) + (4n^3)^2]
(3m + 4n^3) (9m^2 – 12mn^3 + 16n^6)
4) 8x^9 – 125y^3 z^6
(2x^3 – 5yz^2) [(2x^3)^2 – (2x^3)(5yz^2) + (5yz^2)^2]
(2x^3 – 5yz^2) (4x^6 + 2x^3 y z^2 + 25y^2 z^4)
martes 7 de octubre de 2008
Ejercicios de los 5 primeros casos de factorización
Caso I
Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).
Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Ejemplo:
x^8 + x^2 y^2 - 2xy = xy(x + xy - 2)
a) Factor común monomio
Ejemplos descritos de factorizacion:
1. Descomponer en factores a^2 + 2a.
a^2 / a = a y 2a / a= 2, y tendremos a^2 + 2a = a(a+2)
2. Descomponer en factores 10b – 30 a b^2 .
Los coeficientes 10 y 30 tienen factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b porque esta en los 2 términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b.
El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 10b / 10b = 1 y -30ab^2 /10b = -3ab
y tendremos:
10b – 30a b^2 = 10b(1 – 3ab).
Ejercicios:
Factorar o descomponer en dos factores:
1) 3a^3 – a^2 = a^2 (3a-1)
2) 15c^3 d^2 + 60 c^2 d^3 = 15c^2 d^2 (c + 4d)
3) 34ax^2 + 51a^2 y – 68 a y^2 = 17a(2x^2 + 3ay - 4y^2 ).
En este ejemplo vemos que el factor común del coeficiente numérico es el 17, como sabemos que es el 17 dividiendo:
34 / 17 = 2 ; 51 / 17= 3 ; 68 / 17= 4, es decir tenemos que buscar un numero que sea divisible para todos los coeficientes numéricos.
Y en cuanto al coeficiente Literal el factor comun es a debido a que es el menor exponente de dicho coeficiente Literal.
4) x – x^2 + x^3 – x^4 = x(1 – x + x^2 – x^3 )
5) 3a^2 b + 6ab – 5a^3 b^2 + 8a^2 bx +4ab^2 m = a( ab + 6b – 5a^2 b^2 + 8abx + 4b^2m)
El factor comun polinomio lo tenemos en un archivo pdf para obtenerlo hacer clic aqui
Caso II
Factor comun por agrupación de terminos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:
ab + ac + bd + dc = (ab + ac) (bd + dc)
= a(b + c) + d(b + c)
= (a + d) (b + c)
Pasos para realizar el caso II (Factor comun por agrupación de terminos)
Los pasos para realizar este caso que es el factor comun por agrupacion de terminos es:
1) Observar detenidamente el ejercicio en este caso vamos a poner como ejemplo el ejercicio anterior es decir: ab + ac + bd + dc.
2) Agrupar los terminos de una manera que al realizar el ejercicio nos de cómo resultado un factor comun le voy a demostrar con ejemplos:
ab + ac + bd + dc
agrupando los términos: (ab + ac) + (bd + dc)
aplicando lo del caso I a(b + c) + d(b + c) observemos en la parte sombreada con azul que se repite el mismo factor comun (b + c)
es decir el ejercicio si se lo puede realizar es el caso II, si al agrupar los términos no se repiten los factores comunes no es el caso II y por ende no se puede realizar el ejercicio.
3) Una vez identificado que se trata de un factor comun por agrupación de términos procedemos a colocar primero el coeficiente literal es decir las letras que están fuera de los factores comunes.
son las que están sombreada con rojo. a (b + c) + d (b+c)
por ultimo colocamos los factores comunes
dándonos como resultado (a+d) (b+c)
Agrupación de términos: Aquí se intenta agrupar los diferentes términos de una expresión para factorizar utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener un número de términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de términos. Ejemplo:
Resolviendo nos queda:
2ab + 2a - b - 2ac + c - 1
(2ab - 2ac + 2a) - (b - c + 1)
2a(b - c + 1) - (b - c + 1)
(b - c + 1) (2a - 1)
Ejemplos Descritos de factorizacion:
Descomponer : ax + bx + ay + by:
Los dos primeros términos tienen el factor comun x y los dos últimos el factor comun y. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y tendremos:
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)
= x(a + b) + y(a + b)
La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor comun, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor comun en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.
Así en el ejemplo anterior podemos agrupar el 1er y 3er. términos que tienen el factor comun a y el 2do y 4to que tienen el factor comun b y tendremos:
ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by)
= a(x + y) + b (x + y)
= (a + b) (x + y)
Ejercicios:
1) a^2 x^2 – 3bx^2 + a^2 y^2 – 3by^2
(a^2 x^2 – 3bx^2 ) + (a^2 y^2 – 3by^2 )
x^2 (a^2 – 3b) + y^2 (x^2 + y^2 )
(a^2 – 3b) (x^2 + y^2 )
2) x^2 – a^2 + x – a^2 x
(x^2 + x) – (a^2 + a^2 x)
x(x + 1) – a^2 (1 + x)
(x + 1) (x – a^2 )
3) 4a^3 x – 4a^2 b + 3bm – 3amx
(4a^3 x – 3amx) – (4a^2 b – 3bm)
ax(4a^2 – 3m) – b (4a^2 – 3m)
(4a^2 – 3m ) (ax – b)
4) 2am – 2an + 2a – m + n – 1
(2am – 2an + 2a) – (m – n + 1)
2a(m – n + 1) – (m – n + 1)
(m – n + 1) (2a – 1)
5) 3x^3 + 2axy + 2ay^2 – 3xy^2 – 2ax^2 – 3x^2 y
(3x^3 – 3x^2 y – 3xy^2 ) – (2ax^2 – 2axy – 2ay^2 )
3x(x^2 – xy – y^2 ) – 2a(x^2 – xy – y ^2)
(x^2 – xy – y^2 ) (3x – 2a)
En este ejercicio vemos la forma en que podamos agrupar los términos, ya que una vez al agrupar los dos términos deben dar el
mismo factor comun es decir en este ejercicio el factor comun es (x^2 – xy – y^2 ).
En este caso como vemos, agrupamos los términos correspondiente y nos da como respuesta
(x^2 – xy – y^2 ) (3x – 2a).
La clave para resolver este caso es observar el ejercicio darse cuenta la manera en que podamos agrupar los términos para que nos pueda dar el mismo factor comun y así se pueda realizar el ejercicio.
Caso III
Trinomio cuadrado perfecto
Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto.
Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer termino del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado
Ejemplos descritos:
Factoraizar: m^2 + 2m + 1
m^2 + 2m + 1 = (m + 1) (m + 1) = (m + 1)^2
Factorar: 4x^2 + 25y^2 – 20xy
Ordenando el trinomio, tenemos:
4x^2 – 20xy – 25y^2 = (2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)^2
Importante:
Cualquiera de las dos raíces puede ponerse de minuendo. Así en el ejemplo anterior se tendrá también:
4x^2 – 20xy – 25y^2 = (5y – 2x) (5y – 2x) = (5y – 2x)^2
Porque desarrollando este binomio se tiene:
(5y – 2x)^2 = 25y^2 – 20xy + 4x^2
Expresión idéntica a 4x^2 – 20xy + 25y^2 ya que tiene las mismas cantidades con los mismos signos.
El caso especial del trinomio cuadrado perfecto lo tenemos en un archivo pdf para obtenerlo hacer clic aqui
Caso IV
Diferencia de cuadrados perfectos
Regla para factorar una diferencia de cuadrados.
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Los pasos para saber si es un cuadrado perfectos es seguir los siguientes pasos .
1) observar que los dos términos tengan raíz o se le pueda sacar raíz cuadrada y que el segundo término este precedido del signo - ejemplo:
m^2 – 4 = es una diferencia de cuadrados porque tiene raíz cuadrada tanto el primer
termino; raiz cuadrada de m^2 es m y en el segundo termino; raiz cuadrada de 4 es 2 y por ultimo el segundo termino va precedido del signo – en este caso – 4.
Ejemplos descriptivos de factorizacion:
Factorizar: 1 – a^2
La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de a^2 es a. multiplica la suma de estas raíces (1 + a) por la diferencia (1 – a) y tendremos:
1 – a^2 = (1 + a) (1 – a)
Factorizar: 49 x^2 y^6 z^10 – a^12
49 x^2 y^6 z^10 – a^12 = (7x y^3 z^5 + a^6 ) (7 x y^3 z^5 – a^6 )
Factorizar o descomponer en dos factores.
1) a^2 – 25 = (a + 5) (a – 5)
2) 36a^2 – 64b^2 = (6a + 8 b) (6a – 8b)
3) 16m^2 – 100 = (4m + 10) (4m – 10)
4) m^4 x – n^2 x= (m^2 x + nx) (m^2 x – nx)
Caso Especial de la diferencia de cuadrados perfectos.
Factorizar: (a + b) ^2 – c^2
La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.
Así, en este caso tenemos:
La raíz cuadrada de (a + b) ^2 es (a + b).
La raíz cuadrada de c^2 es c.
Multiplico la suma de estas raíces (a + b) + c por la diferencia (a + b) – c y tengo:
(a + b) ^2 – c^2 = [(a + b) + c] [(a + b) – c]
= (a + b + c) (a + b – c)
Factorizar: (p + q)^2 – (q + 2)^2
La raíz cuadrada de (p + q)^2 es (p + q).
La raíz cuadrada de (q + 2)^2 es (q + 2).
Se multiplica la suma de estas raíces (p + q) + (q + 2) por la diferencia (p + q) – (q + 2) y tengo:
(p + q) ^2 – (q + 2) ^2 = [(p + q) + (q + 2)] [(p + q) – (q + 2)]
= (p + q + q + 2) (p + q – q – 2) se reduce a términos semejantes y
queda.
= (p + 2q + 2) (p – 2).
Ejercicios del caso especial.
a^2 – (b + c) ^2 = [a + (b + c)] [a – (b + c)]
= (a + b + c) (a – b + c)
(x – y) ^2 – (c + d) ^2 = [(x – y) + (c + d)] [(x – y) – (c + d)]
= (x – y + c + d) (x – y – c – d)
4(a + b) ^2 – 9(c + d) ^2 = [2(a + b) + 3(c + d)] [2(a + b) – 3(c + d)]
= (2a + 2b + 3c + 3d) (2a + 2b – 3c – 3d)
Casos Especiales
Combinación de los casos III y IV.
Regla para resolver una combinación de los casos III y IV.
1) Observar detenidamente el ejercicio y fijarse si en ella hay un trinomio cuadrado perfecto, ejemplo:
a^2 + m^2 – 4b^2 – 2am
ordenando para observar de mejor manera el trinomio cuadrado perfecto nos queda
a^2 – 2am + m^2 – 4b^2
Como vemos en la parte sombreada de azul identificamos un trinomio cuadrado perfecto que ya lo estudiamos anteriormente.
2) Luego resolvemos encerrando en paréntesis todo el trinomio cuadrado perfecto:
Quedándonos de esta manera (a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 .
3) Una vez que lo agrupamos comenzamos resolviendo el trinomio cuadrado perfecto
(a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 = (a – m) ^2 – 4b^2
Luego observamos detenidamente que se trata de una diferencia de cuadrados perfectos del caso especial que ya lo estudiamos.
4) Resolvemos la diferencia de cuadrados perfecto y nos queda:
(a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 = (a – m) – 4b
= (a – m + 2b) (a – m – 2b)
Siendo la respuesta (a – m + 2b) (a – m – 2b)
Factorizar: 1 – 9x^2 + 24 xy – 16y^2
Resolviendo: 1 – (9x^2 + 24xy – 16y^2 )
En este ejemplo vemos que al agrupar no nos da un trinomio.
(9x^2 + 24xy – 16y^2 )
No es un trinomio cuadrado perfecto porque al multiplicarlo (9x + 4y) ^2 es decir
(9x + 4y) (9x + 4y) no nos va a dar el trinomio inicial.
Entonces hacemos lo siguiente:
1 – (9x^2 + 24xy – 16y^2 ) = 1 – (9x^2 - 24xy + 16y^2 )
donde esta el signo – que esta de azul cambiamos los signo de los términos que están adentro del paréntesis es decir 9x ^2 cambia a –9x^2 ; de 24xy cambia a – 24xy; de -16y^2 cambia a 16y ^2.
sombrear este grupo
Pero agrupándolo nos queda 1 – (9x^2 - 24xy + 16y^2) para no afectar el trinomio el
cuadrado perfecto, el - 9x^2 el signo – se queda afuera como estamos observando en el ejemplo anterior para no afectar el trinomio.
De ahí si podemos resolver el ejercicio:
[1 – (9x^2 – 24xy + 16y^2 )]
[1 – (3x – 4y) ^2 ]
[(1 + (3x – 4y)] [(1 – (3x – 4y)] ojo en la segunda agrupación vemos el – en el
siguiente paso se cambia el signo.
(1 + 3x – 4y) (1 – 3x + 4y).
quedándonos como resultado (1 + 3x – 4y) (1 – 3x + 4y).
Ejercicios de la combinación de los casos III y IV
1) c^2 – a^2 + 2a - 1 = c – (a – 2a + 1)
= c^2 – (a – 1) ^2
= (c + a – 1) [c – (a – 1)]
= (c + a – 1) (c – a + 1)
2) m^2 – x^2 + 9n^2 + 6mn – 4ax – 4a^2 = (m^2 + 6mn + 9n^2 ) – (4a^2 – 4ax x^2)
= (m^2 + 6mn + 9n^2 ) – (4a^2 + 4ax + x^2 )
= (m^2 + 3n) – (2a^2 + x)
= (m + 3n + 2a + x) (m + 3n – 2a – x)
3) x^2 – a^2 + 2xy + y^2 + 2ab – b^2 = (x^2 + 2xy + y^2 ) – (a^2 + 2ab – b^2)
= (x^2 + 2xy + y^2) – (a^2 – 2ab + b^2)
= (x^2 + y) – (a^2 – b)
= (x + y + a – b) (x + y – a + b)
El caso del Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción lo tenemos en archivo pdf para obtenerlo hacar clic aqui
Nota: En este blog los exponentes se expresan de la siguiente manera:
a^2 = se lee a elevada a la segunda potencia
ab^2 = se lee b es elevado a la segunda potencia l el símbolo ^ no influye en la letra a
(a + b)^2 = se lee que el polinomio (a + b) es elevado a la segunda potencia
Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).
Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Ejemplo:
x^8 + x^2 y^2 - 2xy = xy(x + xy - 2)
a) Factor común monomio
Ejemplos descritos de factorizacion:
1. Descomponer en factores a^2 + 2a.
a^2 / a = a y 2a / a= 2, y tendremos a^2 + 2a = a(a+2)
2. Descomponer en factores 10b – 30 a b^2 .
Los coeficientes 10 y 30 tienen factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b porque esta en los 2 términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b.
El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 10b / 10b = 1 y -30ab^2 /10b = -3ab
y tendremos:
10b – 30a b^2 = 10b(1 – 3ab).
Ejercicios:
Factorar o descomponer en dos factores:
1) 3a^3 – a^2 = a^2 (3a-1)
2) 15c^3 d^2 + 60 c^2 d^3 = 15c^2 d^2 (c + 4d)
3) 34ax^2 + 51a^2 y – 68 a y^2 = 17a(2x^2 + 3ay - 4y^2 ).
En este ejemplo vemos que el factor común del coeficiente numérico es el 17, como sabemos que es el 17 dividiendo:
34 / 17 = 2 ; 51 / 17= 3 ; 68 / 17= 4, es decir tenemos que buscar un numero que sea divisible para todos los coeficientes numéricos.
Y en cuanto al coeficiente Literal el factor comun es a debido a que es el menor exponente de dicho coeficiente Literal.
4) x – x^2 + x^3 – x^4 = x(1 – x + x^2 – x^3 )
5) 3a^2 b + 6ab – 5a^3 b^2 + 8a^2 bx +4ab^2 m = a( ab + 6b – 5a^2 b^2 + 8abx + 4b^2m)
El factor comun polinomio lo tenemos en un archivo pdf para obtenerlo hacer clic aqui
Caso II
Factor comun por agrupación de terminos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:
ab + ac + bd + dc = (ab + ac) (bd + dc)
= a(b + c) + d(b + c)
= (a + d) (b + c)
Pasos para realizar el caso II (Factor comun por agrupación de terminos)
Los pasos para realizar este caso que es el factor comun por agrupacion de terminos es:
1) Observar detenidamente el ejercicio en este caso vamos a poner como ejemplo el ejercicio anterior es decir: ab + ac + bd + dc.
2) Agrupar los terminos de una manera que al realizar el ejercicio nos de cómo resultado un factor comun le voy a demostrar con ejemplos:
ab + ac + bd + dc
agrupando los términos: (ab + ac) + (bd + dc)
aplicando lo del caso I a(b + c) + d(b + c) observemos en la parte sombreada con azul que se repite el mismo factor comun (b + c)
es decir el ejercicio si se lo puede realizar es el caso II, si al agrupar los términos no se repiten los factores comunes no es el caso II y por ende no se puede realizar el ejercicio.
3) Una vez identificado que se trata de un factor comun por agrupación de términos procedemos a colocar primero el coeficiente literal es decir las letras que están fuera de los factores comunes.
son las que están sombreada con rojo. a (b + c) + d (b+c)
por ultimo colocamos los factores comunes
dándonos como resultado (a+d) (b+c)
Agrupación de términos: Aquí se intenta agrupar los diferentes términos de una expresión para factorizar utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener un número de términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de términos. Ejemplo:
Resolviendo nos queda:
2ab + 2a - b - 2ac + c - 1
(2ab - 2ac + 2a) - (b - c + 1)
2a(b - c + 1) - (b - c + 1)
(b - c + 1) (2a - 1)
Ejemplos Descritos de factorizacion:
Descomponer : ax + bx + ay + by:
Los dos primeros términos tienen el factor comun x y los dos últimos el factor comun y. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y tendremos:
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)
= x(a + b) + y(a + b)
La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor comun, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor comun en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.
Así en el ejemplo anterior podemos agrupar el 1er y 3er. términos que tienen el factor comun a y el 2do y 4to que tienen el factor comun b y tendremos:
ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by)
= a(x + y) + b (x + y)
= (a + b) (x + y)
Ejercicios:
1) a^2 x^2 – 3bx^2 + a^2 y^2 – 3by^2
(a^2 x^2 – 3bx^2 ) + (a^2 y^2 – 3by^2 )
x^2 (a^2 – 3b) + y^2 (x^2 + y^2 )
(a^2 – 3b) (x^2 + y^2 )
2) x^2 – a^2 + x – a^2 x
(x^2 + x) – (a^2 + a^2 x)
x(x + 1) – a^2 (1 + x)
(x + 1) (x – a^2 )
3) 4a^3 x – 4a^2 b + 3bm – 3amx
(4a^3 x – 3amx) – (4a^2 b – 3bm)
ax(4a^2 – 3m) – b (4a^2 – 3m)
(4a^2 – 3m ) (ax – b)
4) 2am – 2an + 2a – m + n – 1
(2am – 2an + 2a) – (m – n + 1)
2a(m – n + 1) – (m – n + 1)
(m – n + 1) (2a – 1)
5) 3x^3 + 2axy + 2ay^2 – 3xy^2 – 2ax^2 – 3x^2 y
(3x^3 – 3x^2 y – 3xy^2 ) – (2ax^2 – 2axy – 2ay^2 )
3x(x^2 – xy – y^2 ) – 2a(x^2 – xy – y ^2)
(x^2 – xy – y^2 ) (3x – 2a)
En este ejercicio vemos la forma en que podamos agrupar los términos, ya que una vez al agrupar los dos términos deben dar el
mismo factor comun es decir en este ejercicio el factor comun es (x^2 – xy – y^2 ).
En este caso como vemos, agrupamos los términos correspondiente y nos da como respuesta
(x^2 – xy – y^2 ) (3x – 2a).
La clave para resolver este caso es observar el ejercicio darse cuenta la manera en que podamos agrupar los términos para que nos pueda dar el mismo factor comun y así se pueda realizar el ejercicio.
Caso III
Trinomio cuadrado perfecto
Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto.
Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer termino del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado
Ejemplos descritos:
Factoraizar: m^2 + 2m + 1
m^2 + 2m + 1 = (m + 1) (m + 1) = (m + 1)^2
Factorar: 4x^2 + 25y^2 – 20xy
Ordenando el trinomio, tenemos:
4x^2 – 20xy – 25y^2 = (2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)^2
Importante:
Cualquiera de las dos raíces puede ponerse de minuendo. Así en el ejemplo anterior se tendrá también:
4x^2 – 20xy – 25y^2 = (5y – 2x) (5y – 2x) = (5y – 2x)^2
Porque desarrollando este binomio se tiene:
(5y – 2x)^2 = 25y^2 – 20xy + 4x^2
Expresión idéntica a 4x^2 – 20xy + 25y^2 ya que tiene las mismas cantidades con los mismos signos.
El caso especial del trinomio cuadrado perfecto lo tenemos en un archivo pdf para obtenerlo hacer clic aqui
Caso IV
Diferencia de cuadrados perfectos
Regla para factorar una diferencia de cuadrados.
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Los pasos para saber si es un cuadrado perfectos es seguir los siguientes pasos .
1) observar que los dos términos tengan raíz o se le pueda sacar raíz cuadrada y que el segundo término este precedido del signo - ejemplo:
m^2 – 4 = es una diferencia de cuadrados porque tiene raíz cuadrada tanto el primer
termino; raiz cuadrada de m^2 es m y en el segundo termino; raiz cuadrada de 4 es 2 y por ultimo el segundo termino va precedido del signo – en este caso – 4.
Ejemplos descriptivos de factorizacion:
Factorizar: 1 – a^2
La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de a^2 es a. multiplica la suma de estas raíces (1 + a) por la diferencia (1 – a) y tendremos:
1 – a^2 = (1 + a) (1 – a)
Factorizar: 49 x^2 y^6 z^10 – a^12
49 x^2 y^6 z^10 – a^12 = (7x y^3 z^5 + a^6 ) (7 x y^3 z^5 – a^6 )
Factorizar o descomponer en dos factores.
1) a^2 – 25 = (a + 5) (a – 5)
2) 36a^2 – 64b^2 = (6a + 8 b) (6a – 8b)
3) 16m^2 – 100 = (4m + 10) (4m – 10)
4) m^4 x – n^2 x= (m^2 x + nx) (m^2 x – nx)
Caso Especial de la diferencia de cuadrados perfectos.
Factorizar: (a + b) ^2 – c^2
La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.
Así, en este caso tenemos:
La raíz cuadrada de (a + b) ^2 es (a + b).
La raíz cuadrada de c^2 es c.
Multiplico la suma de estas raíces (a + b) + c por la diferencia (a + b) – c y tengo:
(a + b) ^2 – c^2 = [(a + b) + c] [(a + b) – c]
= (a + b + c) (a + b – c)
Factorizar: (p + q)^2 – (q + 2)^2
La raíz cuadrada de (p + q)^2 es (p + q).
La raíz cuadrada de (q + 2)^2 es (q + 2).
Se multiplica la suma de estas raíces (p + q) + (q + 2) por la diferencia (p + q) – (q + 2) y tengo:
(p + q) ^2 – (q + 2) ^2 = [(p + q) + (q + 2)] [(p + q) – (q + 2)]
= (p + q + q + 2) (p + q – q – 2) se reduce a términos semejantes y
queda.
= (p + 2q + 2) (p – 2).
Ejercicios del caso especial.
a^2 – (b + c) ^2 = [a + (b + c)] [a – (b + c)]
= (a + b + c) (a – b + c)
(x – y) ^2 – (c + d) ^2 = [(x – y) + (c + d)] [(x – y) – (c + d)]
= (x – y + c + d) (x – y – c – d)
4(a + b) ^2 – 9(c + d) ^2 = [2(a + b) + 3(c + d)] [2(a + b) – 3(c + d)]
= (2a + 2b + 3c + 3d) (2a + 2b – 3c – 3d)
Casos Especiales
Combinación de los casos III y IV.
Regla para resolver una combinación de los casos III y IV.
1) Observar detenidamente el ejercicio y fijarse si en ella hay un trinomio cuadrado perfecto, ejemplo:
a^2 + m^2 – 4b^2 – 2am
ordenando para observar de mejor manera el trinomio cuadrado perfecto nos queda
a^2 – 2am + m^2 – 4b^2
Como vemos en la parte sombreada de azul identificamos un trinomio cuadrado perfecto que ya lo estudiamos anteriormente.
2) Luego resolvemos encerrando en paréntesis todo el trinomio cuadrado perfecto:
Quedándonos de esta manera (a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 .
3) Una vez que lo agrupamos comenzamos resolviendo el trinomio cuadrado perfecto
(a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 = (a – m) ^2 – 4b^2
Luego observamos detenidamente que se trata de una diferencia de cuadrados perfectos del caso especial que ya lo estudiamos.
4) Resolvemos la diferencia de cuadrados perfecto y nos queda:
(a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 = (a – m) – 4b
= (a – m + 2b) (a – m – 2b)
Siendo la respuesta (a – m + 2b) (a – m – 2b)
Factorizar: 1 – 9x^2 + 24 xy – 16y^2
Resolviendo: 1 – (9x^2 + 24xy – 16y^2 )
En este ejemplo vemos que al agrupar no nos da un trinomio.
(9x^2 + 24xy – 16y^2 )
No es un trinomio cuadrado perfecto porque al multiplicarlo (9x + 4y) ^2 es decir
(9x + 4y) (9x + 4y) no nos va a dar el trinomio inicial.
Entonces hacemos lo siguiente:
1 – (9x^2 + 24xy – 16y^2 ) = 1 – (9x^2 - 24xy + 16y^2 )
donde esta el signo – que esta de azul cambiamos los signo de los términos que están adentro del paréntesis es decir 9x ^2 cambia a –9x^2 ; de 24xy cambia a – 24xy; de -16y^2 cambia a 16y ^2.
sombrear este grupo
Pero agrupándolo nos queda 1 – (9x^2 - 24xy + 16y^2) para no afectar el trinomio el
cuadrado perfecto, el - 9x^2 el signo – se queda afuera como estamos observando en el ejemplo anterior para no afectar el trinomio.
De ahí si podemos resolver el ejercicio:
[1 – (9x^2 – 24xy + 16y^2 )]
[1 – (3x – 4y) ^2 ]
[(1 + (3x – 4y)] [(1 – (3x – 4y)] ojo en la segunda agrupación vemos el – en el
siguiente paso se cambia el signo.
(1 + 3x – 4y) (1 – 3x + 4y).
quedándonos como resultado (1 + 3x – 4y) (1 – 3x + 4y).
Ejercicios de la combinación de los casos III y IV
1) c^2 – a^2 + 2a - 1 = c – (a – 2a + 1)
= c^2 – (a – 1) ^2
= (c + a – 1) [c – (a – 1)]
= (c + a – 1) (c – a + 1)
2) m^2 – x^2 + 9n^2 + 6mn – 4ax – 4a^2 = (m^2 + 6mn + 9n^2 ) – (4a^2 – 4ax x^2)
= (m^2 + 6mn + 9n^2 ) – (4a^2 + 4ax + x^2 )
= (m^2 + 3n) – (2a^2 + x)
= (m + 3n + 2a + x) (m + 3n – 2a – x)
3) x^2 – a^2 + 2xy + y^2 + 2ab – b^2 = (x^2 + 2xy + y^2 ) – (a^2 + 2ab – b^2)
= (x^2 + 2xy + y^2) – (a^2 – 2ab + b^2)
= (x^2 + y) – (a^2 – b)
= (x + y + a – b) (x + y – a + b)
El caso del Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción lo tenemos en archivo pdf para obtenerlo hacar clic aqui
Nota: En este blog los exponentes se expresan de la siguiente manera:
a^2 = se lee a elevada a la segunda potencia
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(a + b)^2 = se lee que el polinomio (a + b) es elevado a la segunda potencia
Inicio
Descripción:
Le damos la cordial bienvenida a este su blog http://ejercicioscasosdefactorizacion.blogspot.com/ (se crea un vinculo a la pagina es la que resalta en azul) en esta pagina encontrara todo lo relacionado al mundo del Algebra en mi blog el tema a tratar será los 10 casos de factorizacion.
Aquí encontrara ejemplos paso a paso de cómo se resuelve cada caso y algunos ejercicios resueltos para que de esta manera vayan entendiendo paso a paso y le sea de mucha utilidad para la enseñanza en sus el colegio.
También en un futuro encontraran videos explicativos de los casos de factorizacion como también les facilitare un programa llamado Derive 6 que le será muy útil para resolver ejercicios matemáticos de cualquier índole, habrá 1 juego matemático y otras cosas mas que se la ira relevando mas después.
Esperando que esta pagina no solo sea para estudiantes sino para cualquier persona en general que quiera aprender este fascinante mundo de las matemáticas espero que este su blog sea de su mayor agrado.
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Aquí encontrara ejemplos paso a paso de cómo se resuelve cada caso y algunos ejercicios resueltos para que de esta manera vayan entendiendo paso a paso y le sea de mucha utilidad para la enseñanza en sus el colegio.
También en un futuro encontraran videos explicativos de los casos de factorizacion como también les facilitare un programa llamado Derive 6 que le será muy útil para resolver ejercicios matemáticos de cualquier índole, habrá 1 juego matemático y otras cosas mas que se la ira relevando mas después.
Esperando que esta pagina no solo sea para estudiantes sino para cualquier persona en general que quiera aprender este fascinante mundo de las matemáticas espero que este su blog sea de su mayor agrado.
Introducción:
Este blog trata de lo fundamental que hoy en dia resulta para el estudiante los casos de factorizacion siendo este el tema la partida para un aprendizaje eficaz a todo lo relacionado con el álgebra.
Aquí consta los 10 casos de factorizacion bien explicado con bases para un mejor entendimiento del estudiante y porque no del que no es estudiante así lograr buenos elementos para el futuro espero que este mini curso sea de su agrado.
Este blog trata de lo fundamental que hoy en dia resulta para el estudiante los casos de factorizacion siendo este el tema la partida para un aprendizaje eficaz a todo lo relacionado con el álgebra.
Aquí consta los 10 casos de factorizacion bien explicado con bases para un mejor entendimiento del estudiante y porque no del que no es estudiante así lograr buenos elementos para el futuro espero que este mini curso sea de su agrado.
Objetivos:
Enseñar a los estudiantes y a los no estudiantes la importancia de las matemáticas en especial a lo que es el algebra.
También saber realizar correctamente los ejercicios de los 10 casos de factorizacion y ayudar a los estudiantes a que dominen bien esta materia.
Como dice una frase de algún lugar “enseñar para sacar de la ignorancia a nuestro pueblo”.
En fin mi objetivo es por medio de mis conocimientos aplicarlos en este blog para enseñarles a todos ustedes lo importante que va ser para el resto de la secundaria y parte de la Universidad los casos de factorizacion.
Enseñar a los estudiantes y a los no estudiantes la importancia de las matemáticas en especial a lo que es el algebra.
También saber realizar correctamente los ejercicios de los 10 casos de factorizacion y ayudar a los estudiantes a que dominen bien esta materia.
Como dice una frase de algún lugar “enseñar para sacar de la ignorancia a nuestro pueblo”.
En fin mi objetivo es por medio de mis conocimientos aplicarlos en este blog para enseñarles a todos ustedes lo importante que va ser para el resto de la secundaria y parte de la Universidad los casos de factorizacion.
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