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lunes, 1 de julio de 2013

Los 5 primeros casos de factorización

Caso I

Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).
Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Ejemplo:


x^8 + x^2 y^2 - 2xy = xy(x + xy - 2)


a) Factor común monomio
Ejemplos descritos de factorizacion:

1. Descomponer en factores a^2 + 2a.

a^2 / a = a y 2a / a= 2, y tendremos a^2 + 2a = a(a+2)


2. Descomponer en factores 10b – 30 a b^2 .
Los coeficientes 10 y 30 tienen factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b porque esta en los 2 términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b.

El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 10b / 10b = 1 y -30ab^2 /10b = -3ab

y tendremos:


10b – 30a b^2 = 10b(1 – 3ab).

Ejercicios:

Factorar o descomponer en dos factores:

1) 3a^3 – a^2 = a^2 (3a-1)



2) 15c^3 d^2 + 60 c^2 d^3 = 15c^2 d^2 (c + 4d)


3) 34ax^2 + 51a^2 y – 68 a y^2 = 17a(2x^2 + 3ay - 4y^2 ).


En este ejemplo vemos que el factor común del coeficiente numérico es el 17, como sabemos que es el 17 dividiendo:
34 / 17 = 2 ; 51 / 17= 3 ; 68 / 17= 4, es decir tenemos que buscar un numero que sea divisible para todos los coeficientes numéricos.

Y en cuanto al coeficiente Literal el factor comun es a debido a que es el menor exponente de dicho coeficiente Literal.



4) x – x^2 + x^3 – x^4 = x(1 – x + x^2 – x^3 )



5) 3a^2 b + 6ab – 5a^3 b^2 + 8a^2 bx +4ab^2 m = a( ab + 6b – 5a^2 b^2 + 8abx + 4b^2m)



Caso II

Factor comun por agrupación de terminos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

ab + ac + bd + dc = (ab + ac) (bd + dc)

= a(b + c) + d(b + c)

= (a + d) (b + c)


Pasos para realizar el caso II (Factor comun por agrupación de terminos)Los pasos para realizar este caso que es el factor comun por agrupacion de terminos es:

1) Observar detenidamente el ejercicio en este caso vamos a poner como ejemplo el ejercicio anterior es decir: ab + ac + bd + dc.

2) Agrupar los terminos de una manera que al realizar el ejercicio nos de cómo resultado un factor comun le voy a demostrar con ejemplos:

ab + ac + bd + dc

agrupando los términos: (ab + ac) + (bd + dc)

aplicando lo del caso I a(b + c) + d(b + c) observemos en la parte sombreada con azul que se repite el mismo factor comun (b + c)

es decir el ejercicio si se lo puede realizar es el caso II, si al agrupar los términos no se repiten los factores comunes no es el caso II y por ende no se puede realizar el ejercicio.

3) Una vez identificado que se trata de un factor comun por agrupación de términos procedemos a colocar primero el coeficiente literal es decir las letras que están fuera de los factores comunes.

son las que están sombreada con rojo. a (b + c) + d (b+c)


por ultimo colocamos los factores comunes
dándonos como resultado (a+d) (b+c)


Agrupación de términos: Aquí se intenta agrupar los diferentes términos de una expresión para factorizar utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener un número de términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de términos. Ejemplo:

Resolviendo nos queda:

2ab + 2a - b - 2ac + c - 1

(2ab - 2ac + 2a) - (b - c + 1)

2a(b - c + 1) - (b - c + 1)

(b - c + 1) (2a - 1)



Ejemplos Descritos de factorizacion:
Descomponer : ax + bx + ay + by:
Los dos primeros términos tienen el factor comun x y los dos últimos el factor comun y. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y tendremos:

ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)

= x(a + b) + y(a + b)

La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor comun, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor comun en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.
Así en el ejemplo anterior podemos agrupar el 1er y 3er. términos que tienen el factor comun a y el 2do y 4to que tienen el factor comun b y tendremos:

ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by)

= a(x + y) + b (x + y)

= (a + b) (x + y)




Ejercicios:

1) a^2 x^2 – 3bx^2 + a^2 y^2 – 3by^2


(a^2 x^2 – 3bx^2 ) + (a^2 y^2 – 3by^2 )


x^2 (a^2 – 3b) + y^2 (x^2 + y^2 )


(a^2 – 3b) (x^2 + y^2 )



2) x^2 – a^2 + x – a^2 x


(x^2 + x) – (a^2 + a^2 x)


x(x + 1) – a^2 (1 + x)


(x + 1) (x – a^2 )



3) 4a^3 x – 4a^2 b + 3bm – 3amx


(4a^3 x – 3amx) – (4a^2 b – 3bm)


ax(4a^2 – 3m) – b (4a^2 – 3m)


(4a^2 – 3m ) (ax – b)




4) 2am – 2an + 2a – m + n – 1

(2am – 2an + 2a) – (m – n + 1)

2a(m – n + 1) – (m – n + 1)

(m – n + 1) (2a – 1)




5) 3x^3 + 2axy + 2ay^2 – 3xy^2 – 2ax^2 – 3x^2 y


(3x^3 – 3x^2 y – 3xy^2 ) – (2ax^2 – 2axy – 2ay^2 )


3x(x^2 – xy – y^2 ) – 2a(x^2 – xy – y ^2)


(x^2 – xy – y^2 ) (3x – 2a)

En este ejercicio vemos la forma en que podamos agrupar los términos, ya que una vez al agrupar los dos términos deben dar el

mismo factor comun es decir en este ejercicio el factor comun es (x^2 – xy – y^2 ).

En este caso como vemos, agrupamos los términos correspondiente y nos da como respuesta

(x^2 – xy – y^2 ) (3x – 2a).

La clave para resolver este caso es observar el ejercicio darse cuenta la manera en que podamos agrupar los términos para que nos pueda dar el mismo factor comun y así se pueda realizar el ejercicio.








Caso III
Trinomio cuadrado perfecto
Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto.Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer termino del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado

Ejemplos descritos:
Factoraizar: m^2 + 2m + 1


m^2 + 2m + 1 = (m + 1) (m + 1) = (m + 1)^2






Factorar: 4x^2 + 25y^2 – 20xy

Ordenando el trinomio, tenemos:4x^2 – 20xy + 25y^2 = (2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)^2


Importante:
Cualquiera de las dos raíces puede ponerse de minuendo. Así en el ejemplo anterior se tendrá también:


4x^2 – 20xy + 25y^2 = (5y – 2x) (5y – 2x) = (5y – 2x)^2



Porque desarrollando este binomio se tiene:


(5y – 2x)^2 = 25y^2 – 20xy + 4x^2


Expresión idéntica a 4x^2 – 20xy + 25y^2 ya que tiene las mismas cantidades con los mismos signos.





Caso IV

Diferencia de cuadrados perfectos

Regla para factorar una diferencia de cuadrados.
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.

Los pasos para saber si es un cuadrado perfectos es seguir los siguientes pasos .

1) observar que los dos términos tengan raíz o se le pueda sacar raíz cuadrada y que el segundo término este precedido del signo - ejemplo:


m^2 – 4 = es una diferencia de cuadrados porque tiene raíz cuadrada tanto el primer

termino; raiz cuadrada de m^2 es m y en el segundo termino; raiz cuadrada de 4 es 2 y por ultimo el segundo termino va precedido del signo – en este caso – 4.



Ejemplos descriptivos de factorizacion:
Factorizar: 1 – a^2

La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de a^2 es a. multiplica la suma de estas raíces (1 + a) por la diferencia (1 – a) y tendremos:

1 – a^2 = (1 + a) (1 – a)


Factorizar: 49 x^2 y^6 z^10 – a^12


49 x^2 y^6 z^10 – a^12 = (7x y^3 z^5 + a^6 ) (7 x y^3 z^5 – a^6 )


Factorizar o descomponer en dos factores.

1) a^2 – 25 = (a + 5) (a – 5)


2) 36a^2 – 64b^2 = (6a + 8 b) (6a – 8b)


3) 16m^2 – 100 = (4m + 10) (4m – 10)


4) m^4 x – n^2 x= (m^2 x + nx) (m^2 x – nx)


Caso Especial de la diferencia de cuadrados perfectos.

Factorizar: (a + b) ^2 – c^2

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.

Así, en este caso tenemos:


La raíz cuadrada de (a + b) ^2 es (a + b).

La raíz cuadrada de c^2 es c.

Multiplico la suma de estas raíces (a + b) + c por la diferencia (a + b) – c y tengo:


(a + b) ^2 – c^2 = [(a + b) + c] [(a + b) – c]

= (a + b + c) (a + b – c)



Factorizar: (p + q)^2 – (q + 2)^2


La raíz cuadrada de (p + q)^2 es (p + q).


La raíz cuadrada de (q + 2)^2 es (q + 2).

Se multiplica la suma de estas raíces (p + q) + (q + 2) por la diferencia (p + q) – (q + 2) y tengo:


(p + q) ^2 – (q + 2) ^2 = [(p + q) + (q + 2)] [(p + q) – (q + 2)]

= (p + q + q + 2) (p + q – q – 2) se reduce a términos semejantes y
queda.

= (p + 2q + 2) (p – 2).


Ejercicios del caso especial.

a^2 – (b + c) ^2 = [a + (b + c)] [a – (b + c)]

= (a + b + c) (a – b + c)


(x – y) ^2 – (c + d) ^2 = [(x – y) + (c + d)] [(x – y) – (c + d)]

= (x – y + c + d) (x – y – c – d)



4(a + b) ^2 – 9(c + d) ^2 = [2(a + b) + 3(c + d)] [2(a + b) – 3(c + d)]

= (2a + 2b + 3c + 3d) (2a + 2b – 3c – 3d)












Casos Especiales

Combinación de los casos III y IV.

Regla para resolver una combinación de los casos III y IV.

1) Observar detenidamente el ejercicio y fijarse si en ella hay un trinomio cuadrado perfecto, ejemplo:


a^2 + m^2 – 4b^2 – 2am

ordenando para observar de mejor manera el trinomio cuadrado perfecto nos queda


a^2 – 2am + m^2 – 4b^2

Como vemos en la parte sombreada de azul identificamos un trinomio cuadrado perfecto que ya lo estudiamos anteriormente.

2) Luego resolvemos encerrando en paréntesis todo el trinomio cuadrado perfecto:


Quedándonos de esta manera (a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 .


3) Una vez que lo agrupamos comenzamos resolviendo el trinomio cuadrado perfecto


(a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 = (a – m) ^2 – 4b^2

Luego observamos detenidamente que se trata de una diferencia de cuadrados perfectos del caso especial que ya lo estudiamos.

4) Resolvemos la diferencia de cuadrados perfecto y nos queda:


(a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 = (a – m) – 4b

= (a – m + 2b) (a – m – 2b)

Siendo la respuesta (a – m + 2b) (a – m – 2b)




Factorizar: 1 – 9x^2 + 24 xy – 16y^2


Resolviendo: 1 – (9x^2 + 24xy – 16y^2 )

En este ejemplo vemos que al agrupar no nos da un trinomio.

(9x^2 + 24xy – 16y^2 )

No es un trinomio cuadrado perfecto porque al multiplicarlo (9x + 4y) ^2 es decir
(9x + 4y) (9x + 4y) no nos va a dar el trinomio inicial.

Entonces hacemos lo siguiente:

1 – (9x^2 + 24xy – 16y^2 ) = 1 – (9x^2 - 24xy + 16y^2 )
donde esta el signo – que esta de azul cambiamos los signo de los términos que están adentro del paréntesis es decir 9x ^2 cambia a –9x^2 ; de 24xy cambia a – 24xy; de -16y^2 cambia a 16y ^2.
sombrear este grupo
Pero agrupándolo nos queda 1 – (9x^2 - 24xy + 16y^2) para no afectar el trinomio el

cuadrado perfecto, el - 9x^2 el signo – se queda afuera como estamos observando en el ejemplo anterior para no afectar el trinomio.

De ahí si podemos resolver el ejercicio:


[1 – (9x^2 – 24xy + 16y^2 )]

[1 – (3x – 4y) ^2 ]

[(1 + (3x – 4y)] [(1 – (3x – 4y)] ojo en la segunda agrupación vemos el – en el

siguiente paso se cambia el signo.

(1 + 3x – 4y) (1 – 3x + 4y).

quedándonos como resultado (1 + 3x – 4y) (1 – 3x + 4y).













Ejercicios de la combinación de los casos III y IV

1) c^2 – a^2 + 2a - 1 = c – (a – 2a + 1)

= c^2 – (a – 1) ^2

= (c + a – 1) [c – (a – 1)]

= (c + a – 1) (c – a + 1)



2) m^2 – x^2 + 9n^2 + 6mn – 4ax – 4a^2 = (m^2 + 6mn + 9n^2 ) – (4a^2 – 4ax x^2)


= (m^2 + 6mn + 9n^2 ) – (4a^2 + 4ax + x^2 )


= (m^2 + 3n) – (2a^2 + x)

= (m + 3n + 2a + x) (m + 3n – 2a – x)




3) x^2 – a^2 + 2xy + y^2 + 2ab – b^2 = (x^2 + 2xy + y^2 ) – (a^2 + 2ab – b^2)


= (x^2 + 2xy + y^2) – (a^2 – 2ab + b^2)


= (x^2 + y) – (a^2 – b)


= (x + y + a – b) (x + y – a + b)





Nota: En este blog los exponentes se expresan de la siguiente manera:

a^2 =
se lee a elevada a la segunda potencia

ab^2 =
se lee b es elevado a la segunda potencia l el símbolo ^ no influye en la letra a

(a + b)^2 =
se lee que el polinomio (a + b) es elevado a la segunda potencia


8 comentarios:

jfmarcelo dijo...
Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.
kamikaze_eitaro dijo...

AMIGO EXCELENTE MATERIAL QUISIERA HACER DONACION, PERO NO TENGO TARJETA DE CREDITO, TIENES ALGUNA CUENTA DONDE LE PUEDA CONSIGNAR.... GRACIAS

Edward Vargas dijo...

creo qeu esta mal el ejercicio 4x^2-20xy-25y^2 revisalo.

Andres Aguilar dijo...

Amigo Kamikaze no tengo cuenta pero bueno gracias por quere colaborar y en cuanto a Edward tratare de verificar el ejercicio que me dices para ver si esta bien o mal gracias por las criticas de todas maneras :)

Andres Aguilar dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Andres Aguilar dijo...

En cuanto cree una cuenta les dire para que me hagan una donacion ok gracias saludos

tommy dijo...

con esto entendí mas :D grasias

Jorge Ramiro dijo...

Todo lo que tenga que ver con matematica y los números siempre me han interesado. En estos momentos cada vez que puedo practicar con ejercicios de algebra trato de hacerlo, porque estoy complicado y espero poder cazarle la onda a este tema